1. Wiskunde voor fundamentele doorbraken

 

              Veel collega’s vertellen ons dat wiskunde vooral bestaat uit het bewijzen van stellingen, maar bestaat het vak van een schrijver echt alleen uit het opschrijven van zinnen?  Wiskunde en de impact ervan op de ICT-industrie is zeker meer dan dat alleen.  

Als jonge student kreeg ik het volgende verhaal te horen en ik was nogal verbaasd hoe effectief het denkbeeldige (en in het verlengde daarvan de verbeelding) in de wiskunde kan zijn in het oplossen van onontwarbare problemen: Een wiskundige doorkruiste de woestijn op zijn kameel toen hij drie, duidelijk erg drukke broers ontmoette. Hun vader was net overleden en had de broers 17 kamelen nagelaten met een zeer ongebruikelijke testamentaire beschikking. Oordeel zelf: de oudste zoon moest de helft krijgen, de tweede zoon een derde en de jongste een negende. De neuronen van de wiskundige, uitgenodigd om een priemgetal te delen volgens de voorgeschreven verhouding, vonden snel de oplossing: hij voegde zijn kameel royaal toe aan de 17 van de erfenis, zodat de oudste 9, de tweede 6 en de derde 3 kon krijgen. in overeenstemming met de vereiste verdeling. Nadat hij het probleem had opgelost, hoefde de wiskundige alleen maar af te sluiten met de woorden: “En geef me nu mijn kameel terug!”

      Dit verhaal biedt de basisingrediënten van wiskundig onderzoek en in het verlengde daarvan creatief onderzoek. Bij wiskundig onderzoek is verbeeldingskracht belangrijker dan kennis. Wanneer een vooraf gedefinieerd probleem onoplosbaar is, zal een wiskundige zich een nieuw probleem voorstellen. Dit staat in schril contrast met klassieke benaderingen die zich aan de oorspronkelijke begrenzingen houden. De nieuwe elegante oplossing voldoet vaak niet aan de oorspronkelijke beperkingen. Het zal echter vaak een nieuwe kijk op het probleem geven, en een baanbrekende oplossing zijn waarvoor consensus bestaat over het feit dat we de oorspronkelijke beperkingen moeten wijzigen om verder te kunnen gaan. In veel gevallen kan het probleem natuurlijk worden opgelost met de oorspronkelijke beperkingen, maar wiskundigen zullen er nog steeds naar streven de oplossing te generaliseren door het verstrekken van de minimaal vereiste hypothese. Generalisatie is cruciaal in de wiskunde. Dit is in engineeringtoepassingen van groot belang, voor wat wordt genoemd de robuustheid van een oplossing of in het verlengde daarvan van een product.  De kwaliteit van de oplossing moet niet teveel afwijken van de optimale situatie wanneer kleine veranderingen in het probleem optreden. Fundamentele doorbraken in de wiskunde zijn ook vaak gebaseerd op het bestaan van oplossingen zonder noodzakelijkerwijs in de algoritmische constructie ervan te voorzien. Dit klinkt een beetje als magie, maar staat bekend als niet-constructief bewijs (ook wel bekend als de pure existentie-stelling), dat het bestaan van een bepaald soort object bewijst zonder een voorbeeld te geven. Dit is uiterst belangrijk en heeft geleid tot belangrijke fundamentele doorbraken op ICT-gebied. “A Mathematical Theory of Communication,” het beroemde artikel van Shannon uit 1948, gaat over wat bekend is komen te staan als de capaciteit van een kanaal, maar Shannon bewees dit zonder een praktisch coderingsschema te bedenken.

  1. Algoritmen voor praktische doorbraken

     Wat is een algoritme precies? Een algoritme in de wiskunde is een procedure, een beschrijving van een reeks stappen die kan worden gebruikt om een wiskundige berekening op te lossen.  Het is vergelijkbaar met een kookrecept. Het was Al-Khwarizmi, die in de 9e eeuw in Baghdad werkte, die de term algoritme introduceerde.  Algoritmen zijn alomtegenwoordig, en velen van ons zijn bekend met het Viterbi-algoritme, de Fast Fourier Transform, het Branch and bound-algoritme, het Expectation-Maximization-algoritme (EM-algoritme), het Dijkstra-algoritme, de Gradient Descent, de Newton-methode of het LLL-algoritme , om er een paar te noemen. Ze hebben een enorme impact op de ontwikkeling van de telecommunicatie-industrie, en sommige algoritmes zijn onvermijdelijk geworden. De weg van fundamentele wiskunde naar wiskundige algoritmen, en vervolgens technische toepassingen, is een lange. De beroemde fouriertransformatie is een typisch voorbeeld daarvan. Het idee van de fouriertransformatie is het opsplitsen van een functie van tijd in zijn samenstellende frequenties. Het wordt onderwezen in alle belangrijke elektrotechnische cursussen, omdat het een direct inzicht geeft in het signaal dat moet worden verwerkt. Het was de Franse wiskundige Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) die de theorie introduceerde die voortkwam uit toepassingsproblemen in warmteoverdracht en trillingen. Het kostte vele jaren om een algoritme af te leiden die daadwerkelijk geïmplementeerd kon worden. Hoewel er enkele voorbereidende werken zijn van de Duitse wiskundige Gauss over de snelle Discrete Fourier Transform (DFT), duurde het tot 1965 voordat James Cooley en John Tukey het beroemde Fast Fourier Transform-algoritme publiceerden. De fouriertransformatie werd toen de drijvende kracht achter alle grote technologische innovaties, zoals Wi-Fi, ADSL, LTE of DVB.

 

  1. Wat nu?

In ons vakgebied hebben veel mensen sinds 1948 geen baanbrekende artikelen meer om op terug te vallen. Ze voelen zich sinds Shannon een beetje verloren. Merk op dat 1948 vanuit historisch perspectief een sleuteljaar was op het gebied van ICT, zoals blijkt uit vele andere fundamentele bijdragen uit dat jaar. Het werk van Wiener “Cybernetics, of Control and Communication in the Animal and the Machine” stond aan de wieg van Signaalverwerking, met zijn vele toepassingen met betrekking tot detectie, schattingen en regelingen van en voor communicatiesystemen. Het boek “Theory of Games and Economic Behaviour” van J. Von Neumann en O. Morgenstern opende het gebied van speltheorie en meer in het algemeen leermiddelensystemen. Al deze bijdragen vormden de belangrijkste ingrediënten voor vele jaren algoritmisch onderzoek.   Dus waar streven we naar voor 2028? In feite hebben we nog nooit een grotere behoefte gehad aan geavanceerde wiskundige tools dan nu, en er zijn al enkele nieuwe fundamentele tools om de werkelijke limieten te overschrijden (bijvoorbeeld de Shannonlimiet en de Nyquist-frequentie). We hebben lange tijd geprobeerd dezelfde modellen te verbeteren vanwege de moeilijkheid om met nieuwe modellen om te gaan. Als algemeen bekend is het niet omdat het moeilijk is dat we het niet proberen, maar dat het moeilijk is juist omdat we het niet proberen.   

Door Dr. Mérouane Debbah,  Director of the Mathematical and Algorithmic Science Laboratory at the Huawei Research Center in Paris

Copyright © 2020 IDG Communications, Inc.



Source link

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here